Limiti della computabilità e teoresi severiniana: appunti per una possibile analisi filosofica

Roger Penrose, fisico-matematico britannico, ha sostenuto, a più riprese — e.g., in «La mente nuova dell’imperatore» (1989) — che i limiti della computabilità — definiti nell’ambito dell’informatica teorica e non solo — indicano l’impossibilità che una macchina o un’intelligenza artificiale possano mai raggiungere la coscienza. Penrose, che ha dialogato con Emanuele Severino in convegni e annesse pubblicazioni, vede nella coscienza un elemento distintivo, ovvero un qualcosa che va oltre le capacità dei calcoli algoritmici, suggerendo che la coscienza stessa potrebbe essere definita indirettamente dalla sua capacità di comprendere e risolvere problemi che sono fuori dalla portata delle macchine di Turing Universali. Questa visione si può collegare in modo interessante e proficuo alla teoresi severiniana sviluppata sin dalla «Struttura Originaria» (1958) — d’ora in poi SO —, offrendo una prospettiva comprensiva sul rapporto tra «computabilità algoritmica», coscienza (dal punto di vista scientifico) e sguardo filosofico per mezzo della cosiddetta «Contraddizione C».

 

La computabilità è un campo fondamentale dell’informatica teorica che esplora ciò che può essere calcolato da un algoritmo e i limiti intrinseci di questi processi. Uno dei concetti centrali in questo campo è quello degli insiemi ricorsivamente enumerabili e degli insiemi ricorsivi. Questi termini delineano i confini tra ciò che possiamo elencare tramite un algoritmo e ciò che possiamo decidere in maniera definitiva.

 

Si precisa che qui non si introdurrà il concetto di «funzione computabile» e relative proprietà peculiari; quindi, si incorrerà in una inevitabile semplificazione a scapito del rigore formale ma a beneficio della comprensibilità.

 

Un insieme è detto ricorsivo se esiste una macchina di Turing (un modello teorico di calcolo che esemplifica l’elaborazione di un qualsiasi computer) che può decidere l’appartenenza di qualsiasi elemento all’insieme in un tempo finito. In altre parole, per ogni elemento, la macchina di Turing può fermarsi e confermare se l’elemento appartiene o meno all’insieme. Al contrario, un insieme ricorsivamente enumerabile è un insieme per cui esiste una macchina di Turing che può elencare tutti i suoi elementi, ma non può necessariamente decidere l’appartenenza di ogni elemento in un tempo finito. Questo significa che, per alcuni elementi, l’algoritmo potrebbe non fermarsi mai.

 

Il teorema, noto in teoria della computabilità, che afferma l’esistenza di insiemi ricorsivamente enumerabili ma non ricorsivi sottolinea un aspetto fondamentale: esistono insiemi per i quali possiamo costruire un algoritmo (i.e., una procedura che prevede un insieme finito di passi) per elencare i loro elementi, ma non possiamo costruire un algoritmo per decidere l’appartenenza per ogni elemento dato in tempo finito. Ciò mette in evidenza i limiti della computabilità algoritmica.

 

In una prospettiva storica, la teoria della computabilità inizia con il lavoro pionieristico di Alan Turing negli anni ’30. Turing introdusse il concetto di macchina di Turing, un modello teorico che formalizza la nozione di algoritmo e calcolo, nel suo fondamentale articolo «On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem». Kurt Gödel, con i suoi teoremi di incompletezza, in logica formale (del prim’ordine) dimostrò che ci sono verità matematiche che non possono essere provate all’interno di un sistema formale (sufficientemente potente, espressivo, da esprimere l’aritmetica), anticipando in qualche modo i limiti della computabilità. Alonzo Church, contemporaneo di Turing, sviluppò il calcolo lambda e contribuì significativamente alla teoria degli algoritmi, portando alla formulazione della tesi di Church-Turing, che afferma che qualsiasi funzione calcolabile può essere calcolata da una macchina di Turing. Questi studiosi, insieme a molti altri, hanno gettato le basi per comprendere i limiti e le possibilità del calcolo algoritmico.

 

Emanuele Severino fin dalla SO del 1958 affronta il tema della contraddizione in modo approfondito e rigoroso. Una degli elementi centrali della sua teoresi è la «contraddizione C», che può essere spiegata come un isolamento semantico. Secondo Severino, un significato S appare isolatodalle sue costanti necessarie, creando una situazione in cui S non è S, ma una sua forma astratta o formale che è, in realtà, non-S. Questa disequazione tra il S-concreto e il S-formale si realizza quando S appare isolato dalle sue costanti, risultando in una contraddizione dialettica.

 

La contraddizione C riflette un isolamento semantico simile a quello osservato nella teoria della computabilità che potrebbe essere assimilata ad una teoria «formale». Quando consideriamo un insieme ricorsivamente enumerabile — ma non ricorsivo —, vediamo che l’insieme è in qualche modo isolato dal contesto totale delle sue costanti (i suoi membri o determinazioni). Questo isolamento implica che, pur potendo elencare gli elementi dell’insieme, non possiamo decidere in modo definitivo tramite una procedura algoritmica l’appartenenza di ogni elemento — ciò, ricordiamo, è decretato dal teorema sopra accennato.

 

Questo concetto può essere esemplificato dal Problema della Fermata (Entscheidungsproblem o Halting Problem), uno dei problemi più noti nella teoria della computabilità affrontato da Turing. Il problema chiede se esista un algoritmo che possa decidere se una macchina di Turing si fermerà su un dato input. Turing ha dimostrato che non esiste un tale algoritmo generale, rendendo il problema indecidibile. Tuttavia, possiamo costruire un algoritmo che elenca tutte le macchine di Turing che si fermano su determinati input, rendendo l’insieme ricorsivamente enumerabile ma tuttavia non ricorsivo. Qui, l’isolamento semantico trova un possibile parallelo: l’insieme di tutte le macchine che si fermano è isolato dalla totalità degli input possibili (determinazioni), risultando in una forma di contraddizione (dialettica).

Il concetto di isolamento semantico in Severino, dove l’apparire di un significato è isolato da sue costanti, può essere paragonato all’incapacità di decidere l’appartenenza di tutti gli elementi in un insieme ricorsivamente enumerabile. In entrambi i casi, c’è una complessità intrinseca che impedisce una visione completa e deterministica dell’insieme o del significato totale, rendendo il sistema incompleto e contraddittorio.

La contraddizione C, come descritto da Severino, è una contraddizione dialettica caratterizzata da una mancanza, che si esprime come l’assenza di alcune costanti necessarie per il pieno significato di S. In tal senso essa è problematicità originaria poiché mancherebbero le strutture logico-semantiche per la soluzione del problema (nel finito). Tale contraddizione non è semplicemente risolvibile con una negazione, ma essa è un’assenza che deve essere colmata all’infinito attraverso l’aggiunta di nuove costanti. In altre parole, la contraddizione non viene negata o risolta in senso tradizionale, ma viene affrontata e «tolta all’infinito» in modo processuale, tramite l’inclusione progressiva delle costanti mancanti. Ciò ha un parallelo anche con il concetto di gödelizzazione riguardo il rendere decidibileun sistema formale con l’aggiunta di (infiniti) assiomi ad-hoc. Inoltre, nella logica del primo ordine l'insieme di tutti i teoremi di una teoria è un insieme ricorsivamente enumerabile. Ciò significa che è possibile scrivere un algoritmo che possa generare, prima o poi, ogni dimostrazione valida. Ci si può chiedere se questi teoremi soddisfino la proprietà più restrittiva di essere anche ricorsivi. Cioè, ci si può chiedere se è possibile scrivere un programma per computer in grado di determinare con certezza se un'affermazione è vera o falsa (all’interno del sistema formale o programma). Gödel con i suoi teoremi dice che, in generale, non è possibile. Tali risvolti mostrano che c’è una triangolazione tra decidibilità in Gödel e il Problema dell’Arresto di Turing e, alla luce della presente analisi, con la Contraddizione C in Severino.

Abbiamo visto che il fisico-matematico Roger Penrose, ha elaborato un’argomentazione di matrice scientifica sulla coscienza che si collega in modo interessante a queste riflessioni. Sappiamo che per Penrose i limiti della computabilità indicano l’impossibilità che una macchina (di Turing) o un’intelligenza artificiale possano mai raggiungere una forma coscienza. Secondo Penrose, la coscienza non è computabile e non può essere ridotta a un algoritmo, poiché essa implica la capacità di risolvere problemi che esulano dai limiti delle macchine di Turing. Penrose, nel suo modello ORCH-OR (ORCHestrated Objective Reduction), ideato con il medico Stuart Hameroff, indica nell’intrinseco indeterminismo della fisica quantistica il problema della coscienza, specificatamente nell’elaborazione dell’informazione nei microtubuli — microstrutture presenti nel sistema nervoso degli esseri viventi — dove avverrebbero fenomeni di decoerenza quantistica significativi e intrinsecamente incomputabili.

 

Questa visione offre un’interpretazione indiretta della coscienza come qualcosa che non può essere completamente catturato da sistemi finiti e deterministici. Tale idea si allinea con il pensiero di Severino riguardo alla contraddizione C e all’isolamento semantico: così come il significato S è costantemente incompleto e necessita di integrazione continua, così la coscienza — nel finito — si sottrae alla completa definizione e controllo algoritmico, rimanendo al di fuori del dominio della pura computabilità. 

Si precisa che per Severino il concetto di «coscienza», scientificamente inteso, ha a che fare con il modo della produzione ed è figlio della cultura greca tradizionale (i.e., Platone), mentre esso è autenticamente legato alla «manifestazione del mondo», per cui non è possibile localizzare la coscienza — come sostiene Penrose —  in un qualche luogo come il cervello.

 

L’analisi dei limiti della computabilità e la teoresi di Severino, sebbene in ambiti distinti, mostrano un’interessante relazione. Entrambi i campi trattano l’impossibilità di una completezza assoluta e la presenza di contraddizioni dovute all’isolamento di elementi chiave dal contesto totale. Questa analisi, sebbene superficiale, suggerisce che le riflessioni filosofiche di Severino offrono uno sguardo comprensivo delle limitazioni algoritmiche e della natura intrinseca delle contraddizioni nel contesto della computabilità (e per estensione della logica formale).

Ulteriori spunti

Si può ora fare un cenno su cosa succede al teorema della computabilità se si oltrepassa il finito e si estende il tempo all’infinito. Nella teoria della computabilità, le macchine di Turing a tempo infinito (ITTMs) sono un’estensione teorica delle macchine di Turing in cui il calcolo può procedere attraverso una sequenza infinita di passi. Ad ogni «passo di tempo infinito» la configurazione della macchina viene aggiornata in modo ben definito. Questo approccio teorico permette di superare alcune delle limitazioni dei modelli computazionali finiti, aprendo la strada alla risoluzione di problemi che altrimenti rimarrebbero indecidibili.

Tale concetto sembra riflettere la logica della contraddizione C, dove la mancanza viene colmata attraverso un processo infinito. In Severino, questo appare chiaramente nella sua idea che ogni significato (o ente) è sempre in una posizione di continua realizzazione (nel finito, nell’apparire) — sebbene non oscilli tra l’essere e il nulla —, poiché le sue costanti non sono mai completamente poste ma vengono costantemente aggiunte nel corso dell’apparire infinito. Questo parallelo con l’estensione del tempo infinito nella computabilità mostra come entrambi i sistemi concettuali, pur operando in domini differenti, convergano sull’idea di un processo infinito come soluzione ai limiti intrinseci dei sistemi finiti. Infatti, il teorema della computabilità che afferma l’esistenza di insiemi ricorsivamente enumerabili ma non ricorsivi viene esteso in modo significativo se consideriamo il calcolo su un tempo infinito. In un contesto finito, questi insiemi rimangono isolati, non completamente decidibili. Tuttavia, se si permette un tempo infinito, alcuni di questi insiemi possono diventare completamente decidibili, poiché la macchina di Turing ha un tempo illimitato per elaborare e decidere l’appartenenza di ogni elemento. Questo riflette il modo in cui la contraddizione C viene risolta in Severino: non attraverso una soluzione finita e deterministica, ma attraverso un processo continuo e infinito di integrazione. Quindi, l’estensione del concetto di computabilità al tempo infinito e la contraddizione C di Severino offrono una visione complementare dei limiti e delle possibilità del finito. Entrambi suggeriscono che alcune contraddizioni e limitazioni non possono essere risolte o superate all’interno di un contesto finito, ma richiedono un approccio diretto con l’infinito.

 

Ricordiamo inoltre che in SO la struttura originaria della verità è intrinsecamente legata all’insaturabilità del significato. Cioè, dovuto alla forma finita della verità stessa e, come tale, è inevitabilmente coinvolta nel rinvio semantico. Questo rinvio è dovuto al fatto che la compiuta saturazione o determinazione di un significato richiede la datità dell’intero. Tuttavia, poiché l’intero non appare mai in modo completo e concreto, ogni significato in SO è necessariamente insaturabile. In altre parole, qualsiasi significato che emerge nell’apparire modifica continuamente il significato originario, mostrando così la sua apertura a infiniti rinvii semantici. Tale insaturabilità del significato è strettamente legata alla contraddizione C, che sappiamo essere una contraddizione dialettica determinata dall’isolamento del significato S dalle sue costanti. In sintesi, per Severino, il significato è insaturabile perché la completa determinazione di un significato richiede l’apparire dell’intero campo semantico, mai raggiungibile nel concreto.

 

L’insaturabilità del significato, dal versante teoretico, può spiegare il teorema della computabilità in quanto entrambi riflettono l’impossibilità di una determinazione completa e definitiva. Nel contesto della computabilità, ripetiamolo, il teorema afferma che esistono insiemi ricorsivamente enumerabili ma non ricorsivi, evidenziando che alcuni problemi non possono essere completamente risolti algoritmicamente. Allo stesso modo, l’insaturabilità del significato indica che ogni significato è continuamente aperto a nuovi rinvii semantici e non può mai essere completamente determinato. Entrambi i concetti sottolineano un limite intrinseco: nella computabilità (nel suo contesto formale), è il limite dell’algoritmo di decidere l’appartenenza a un insieme in modo definitivo; nella teoresi Severiniana, è il limite della piena saturazione del significato. Questa correlazione mostra come la complessità e l’indeterminatezza siano fondamentali sia all’interno dell’informatica teorica che nel sottosuolo della filosofia.

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Emanuele Severino, La Struttura Originaria (1958)

Alan Turing, On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem (1936)

Roger Penrose, La mente nuova dell'imperatore (1989)

Marcello Frixione, Dario Palladino, La computabilità, algoritmi, logica, calcolatori (2011)

Roger Penrose, Emanuele Severino, et al., Artificial Intelligence Versus Natural Intelligence (2022)

Francesco Berto, La dialettica della Struttura Originaria (2003)

Enrico De Santis, Umanità Complessità, Intelligenza Artificiale. Un connubio perfetto (2021)