Il principio di indeterminazione di Heisenberg e il suo cuore matematico

 

Il principio di indeterminazione di Heisenberg è un fondamento concettuale della meccanica quantistica che afferma l'impossibilità di determinare simultaneamente e con precisione assoluta coppie di grandezze fisiche coniugate, come posizione e quantità di moto (o equivalentemente, energia e tempo). Formalmente, è espresso come: $$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$ dove $$ \Delta x $$ è l'incertezza nella posizione, $$ \Delta p $$ è l'incertezza nella quantità di moto, e $$ \hbar $$ è la costante di Planck ridotta. **Dualità Tempo-Frequenza nella Teoria dei Segnali** Nella teoria dei segnali, un fenomeno simile si verifica con la dualità tempo-frequenza. La trasformata di Fourier di un segnale nel tempo $$ f(t) $$ produce una rappresentazione di questo segnale nel dominio della frequenza $$ F(\omega) $$, e la relazione di indeterminazione qui si manifesta come: $$ \Delta t \cdot \Delta \omega \geq \frac{1}{2} $$ Questo esprime l'impossibilità di localizzare un segnale contemporaneamente nel tempo e nella frequenza con precisione arbitraria. **Spazi di Hilbert e il Prodotto Scalare** Gli spazi di Hilbert sono spazi vettoriali lineari che sono completi rispetto alla norma derivata dal prodotto scalare. Ogni funzione o segnale può essere considerato come un vettore in questo spazio. Il prodotto scalare tra due funzioni $$ f(t) $$ e $$ g(t) $$ è definito come: $$ \langle f, g \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \overline{g(t)} \, dt $$ La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in uno spazio di Hilbert assicura che: $$ |\langle f, g \rangle|^2 \leq \langle f, f \rangle \cdot \langle g, g \rangle $$ Questa disuguaglianza è la chiave matematica che sottende il principio di indeterminazione nella teoria dei segnali. **Dimostrazione della Cauchy-Schwarz e il Legame con la Dualità Tempo-Frequenza** Consideriamo il segnale $$ f(t) $$ e la sua trasformata di Fourier $$ F(\omega) $$. La norma (o energia) del segnale nel tempo e nella frequenza è data da $$ \langle f, f \rangle $$ e $$ \langle F, F \rangle $$, rispettivamente. Applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz a queste due rappresentazioni, possiamo stabilire il principio di indeterminazione nella teoria dei segnali. **Speculazione su Spazi Non Lineari o Non Completi** Se non fossimo in uno spazio di Hilbert, ma in uno spazio non lineare o non completo, la relazione standard di indeterminazione potrebbe non valere. In questi spazi, le proprietà di sovrapposizione, scalabilità e completezza non si applicherebbero, e non avremmo la garanzia che le tecniche di decomposizione e analisi di Fourier siano valide. Ciò potrebbe richiedere una riformulazione del principio di indeterminazione o la creazione di nuovi strumenti matematici per descrivere il comportamento dei segnali. In conclusione, il principio di indeterminazione di Heisenberg e la dualità tempo-frequenza nella teoria dei segnali sono manifestazioni di limitazioni fondamentali sulla precisione delle misurazioni, radicate nella struttura matematica degli spazi di Hilbert. Queste limitazioni sono espressioni della stessa realtà matematica, che emergono in campi apparentemente diversi, ma uniti dalla geometria dello spazio di Hilbert e dal concetto di prodotto scalare.